「N-CG」基础 01

1. 矩阵乘法（点乘） & 向量叉乘 ¶

1.1. 矩阵点乘（Dot Product） ¶

两个矩阵相乘的条件是：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

例如，$A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，$B$ 是一个 $n \times p$ 的矩阵，那么 $A \cdot B$ 的结果是一个 $m \times p$ 的矩阵。

这里的$n$就是需要相等的那个维度。

1.1.1. 应用 ¶

点积常用于：

1. 计算两个向量的夹角；
2. 计算两个向量的投影；
3. 计算功率；
4. 判断两个向量是否垂直（点积为0则垂直）；

1.1.2. 简单例子 ¶

假设有两个向量 $A$ 和 $B$，分别为：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

那么，$A$ 和 $B$ 的点乘结果为：

$$A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

文字描述的话，就是：
遍历 $A$ 的行和 $B$ 的列，将每一行的元素与每一列的元素对应相乘，然后将结果相加，作为新矩阵的元素。最后，用这些元素填充新矩阵。

比如说：用 $A$ 的第一行和 $B$ 的第一列相乘，然后将结果相加，作为新矩阵的第一行第一列的元素；用 $A$ 的第一行和 $B$ 的第二列相乘，然后将结果相加，作为新矩阵的第一行第二列的元素；以此类推。

1.1.3. 另一个例子 ¶

假设有两个向量 $A$ 和 $B$，分别为：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}$$

这两个矩阵的形状分别是 $2 \times 3$ 和 $3 \times 2$，所以它们可以相乘，并且会得到一个 $2 \times 2$ 的矩阵。

$$A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \times 7 + 2 \times 9 + 3 \times 11 & 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 \\ 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11 & 4 \times 8 + 5 \times 10 + 6 \times 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$$

1.2. 向量叉乘（Cross Product） ¶

对于二维向量 $\vec{A} = (x_1,\ y_1,\ z_1)$ 和 $\vec{B} = (x_2,\ y_2,\ z_2)$，它们叉乘会产生一个新的向量 $\vec{C}$，其大小为$|\vec{C}| = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \sin(<\vec{A}, \vec{B}>)$。

两个向量叉乘的结果是一个新的向量，这个新的向量垂直于原来的两个向量。
注意：向量叉乘是丁义珍三维空间中的概念，所以只有三维向量才能进行叉乘。

1.2.1. 应用 ¶

叉积常用于：

1. 计算两个向量（或一个平面）的法向量（Normal Vector），也就是垂直于这两个向量的向量；
2. 判断向量的方向：右手定则；
3. 计算面积：两个向量的叉积的模长就是这两个向量围成的平行四边形的面积；
4. 计算力矩；

1.2.2. 简单例子 ¶

假设有两个向量 $A$ 和 $B$，分别为：

$$A = (x_1,\ y_1,\ z_1), \quad B = (x_2,\ y_2,\ z_2)$$

Hint: 向量可以表示为矩阵的形式，比如：$A = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}$。

那么，$A$ 和 $B$ 的叉乘结果为：(determinant of a 3x3 matrix)

$$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{bmatrix}$$

注意：这里的 $\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$ 并不是几个值，而是表示单位向量的符号。

或者，可以根据向量$A$构建一个特殊的矩阵来计算：

首先，构建矩阵$A_{skew}$：

$$A_{skew} = \begin{bmatrix} 0 & -z_1 & y_1 \\ z_1 & 0 & -x_1 \\ -y_1 & x_1 & 0 \end{bmatrix}$$

这个矩阵是$A$的斜对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）。

然后，将$A_{skew}$与向量$B$进行点乘：

$$\vec{C} = A_{skew} \cdot \vec{B} = \begin{bmatrix} 0 & -z_1 & y_1 \\ z_1 & 0 & -x_1 \\ -y_1 & x_1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{bmatrix}$$

结果与上面的结果一致。

1.2.3. 小规律 ¶

其中的规律：

观察最终形式可以发现，$\vec{C}$ 的每一行所包含的字母在本行内都是相同的：第一行都是$y$和$z$，第二行都是$z$和$x$，第三行都是$x$和$y$。

由于两个向量都是$(x,\ y,\ z)$的形式，不妨先想象有这么一串字母：$xyzxyz$。

然后，我们只需要先记住$\vec{C}$的第一行，$y_1z_2 - z_1y_2$，的第一项是$y_1z_2$（$x\underline{yz}xyz$），那么后面的其他都能按规律推出来了。

已知第一行是$y_1z_2$开头，它减去的就是相同字母反过来：$z_1y_2$（$x\underline{yz}xyz$），得到第一行为：$y_1z_2 - z_1y_2$。

第二行则往后推，$xy\underline{zx}yz$，得到第二行为：$z_1x_2 - x_1z_2$。

第三行同理，$xyz\underline{xy}z$，得到第三行为：$x_1y_2 - y_1x_2$。

这样，就得到了叉乘的结果：

$$\vec{C} = \begin{bmatrix} y_1z_2 - z_1y_2 \\ z_1x_2 - x_1z_2 \\ x_1y_2 - y_1x_2 \end{bmatrix}$$

1.2.4. 另一个例子 ¶

假设有两个向量 $A$ 和 $B$，分别为：

$$A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}$$

那么，$A$ 和 $B$ 的叉乘结果为：

$$\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 6 - 3 \times 5 \\ 3 \times 4 - 1 \times 6 \\ 1 \times 5 - 2 \times 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$$

使用构建斜对称矩阵的方法也可以得到相同的结果：

$$A_{skew} = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

$$\vec{C} = A_{skew} \cdot \vec{B} = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix}$$

2. 矩阵的转置&逆 ¶

矩阵的转置和逆是两个不同的概念。

2.1. 矩阵的转置（Transpose） ¶

矩阵的转置是指：将矩阵的行和列互换。

例如对于以下矩阵$A$：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

它的转置$A^T$为：

$$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

原矩阵中的第$n行m列$的元素变成新矩阵中的第$m行n列$的元素。

2.2. 矩阵的逆（Inverse） ¶

矩阵的逆是指：对于一个矩阵$A$，如果存在一个矩阵$B$，使得$A \cdot B = I$且$B \cdot A = I$，那么$B$就是$A$的逆矩阵。

其中，$I$是单位矩阵，有事也会用$E$表示。

例如，一个$3 \times 3$的单位矩阵$I_3$为：

$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

2.2.1. 矩阵有逆的条件 ¶

并不是所有的矩阵都有逆，只有满足以下条件的矩阵才有逆：

1. 其必须是一个方阵（行数等于列数）；
2. 其行列式（Determinant）不为0。

行列式为0的矩阵是奇异矩阵（Singular Matrix），行列式不为0的矩阵是非奇异矩阵（Non-Singular Matrix）。
一种快速判断奇异矩阵的方法：如果矩阵中存在某一行和另一行存在线性相关的关系（如：第一行是第二行的2倍）的情况，那么这个矩阵就是奇异矩阵。

RECALL：行列式的计算方法：

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

2.2.2. 矩阵的逆的计算 ¶

对于一个$2 \times 2$的矩阵$A$：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

它的逆矩阵$A^{-1}$为：

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

对于一个$3 \times 3$的矩阵$A$：

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

它的逆矩阵$A^{-1}$为：

$$A^{-1} = \frac{1}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}} \begin{bmatrix} ei - fh & ch - bi & bf - ce \\ fg - di & ai - cg & cd - af \\ dh - eg & bg - ah & ae - bd \end{bmatrix}$$

使用numpy库可以很方便地计算矩阵的逆，如：np.linalg.inv(A)。